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Da jemand in meiner Verwandtschaft eine verstehbare Erklärung des Hexadezimalsystems brauchte, im Web aber keine verstehbare Erklärung zu finden war, versuche ich mal, das Thema verstehbar zu erklären:

Einführung in das Hexadezimalsystem

Zahlen aufschreiben

Wenn Sie die Aufgabe haben, eine Zahl aufzuschreiben, gibt es theoretisch eine Menge Möglichkeiten. Eine davon ist die gute alte Strichliste. Sie hat einige Vorteile (einfache Erlernbarkeit, keine harte Begrenzung der darstellbaren Zahlen), aber spätestens zwischen hundert und tausend wird sie unübersichtlich.

Unsere Vorfahren (die alten Araber? Inder?) haben sich etwas anderes ausgedacht: Symbole, genannt Ziffern, von denen jedes eine bestimmte Zahl ausdrückt, z.B. 0 für null, 1 für eins, 2 für zwei, 3 für drei, u.s.w. bis 9 für neun.

Das bekannte Zehnersystem

Wenn Sie aber jetzt Zahlen größer als neun, z.B. zehn, ausdrücken möchten, ist es auf den allerersten Blick schwierig, denn Ihnen gehen die Symbole (auch Ziffern genannt) aus. So selbstverständlich, dass Sie schon nicht mehr nachdenken, behelfen Sie sich, indem Sie eine zweite Ziffer vor die erste schreiben: 10. Diese zweite Ziffer von rechts bekommt den zehnfachen Wert (mathematisch ausgedrückt: 101, zehn hoch eins) der ganz rechten Ziffer (die hat nur den einfachen Wert, mathematisch ausdrückbar: 100, zehn hoch null ["irgendwas hoch null" ist immer eins]).Die Ziffernfolge 93 drückt also z.B. den Wert 9*101 + 3*100 aus.

Wenn 2 Ziffern nicht mehr reichen, nehmen Sie eine dritte Ziffer, die dann wieder die zehnfache Wertigkeit der zweiten Ziffer (von rechts) hat: 10*10 = 102 (zehn hoch zwei) = 100. Wenn 3 Ziffern nicht mehr reichen, verwenden Sie eine vierte Ziffer und so weiter, bis der Platz auf dem Papier nicht mehr reicht - was aber erst bei Zahlen passiert, die so groß sind, dass sie im Alltag nicht mehr vorkommen (es sei denn Ihr Alltag ist der eines Astronomen oder Kernphysikers).

Weil bei dieser Schreibweise die Stelle, an der eine Ziffer steht, bestimmend für deren Wert ist, nennt man solche System auch Stellenwertsysteme. (Ein Gegenbeispiel [kein Stellenwertsystem] sind die römischen Ziffern.)

Da Sie von der Grundschule her das Zehner-System so gut kennen, nehmen Sie diese Rechnerei gar nicht mehr wahr, sondern schreiben es einfach hin.

Da in unserem üblichen Zahlensystem die Zehn eine so entscheidende Rolle spielt (zehn verschiedene Ziffern, eine zusätzliche Stelle links davor hat den zehnfachen Wert), nennt man es auch ein Zahlensystem mit der Basis Zehn, mit lateinischem Anstrich "Dezimalsystem" ("decem" auf Latein bedeutet "zehn").

Es muss nicht unbedingt Zehn sein

Wieso sind unsere Vorfahren eigentlich auf die Idee gekommen, dieses ganze Spiel ausgerechnet mit der Basis Zehn durchzuziehen? Es gibt die Vermutung, dass es mit der Zahl unserer Hände und Finger zu tun hat - 2 Hände zu je 5 Fingern macht Zehn Möglichkeiten.

Diese Basis Zehn ist aber nur eine Festlegung, die irgendjemand mal getroffen hat und an die wir uns gewöhnt (in der Grundschule gelernt) haben.

Zum Beispiel: Basis Zwei

Computer sind zum Beispiel so dumm, dass sie nur Null und Eins (kein Strom/Strom) unterscheiden können, also zwei statt zehn Ziffern - das allerdings sehr schnell und in großer Menge. Es liegt also nahe, Computern das Rechnen im Zweier-System beizubringen. Irgendjemand hat mal die alten Griechen bemüht, bei denen die Silbe "bi" "zwei" bedeutet und daher dem Zweier-Zahlensystem den Namen Binär-System gegeben.

Mit einer Ziffer (im Zweier-System "Bit" genannt), können Sie also die Zahlen 0 (Null) und 1 (Eins) ausdrücken. Wenn Sie mehr wollen, hilft wieder Trick mit zusätzlichen Ziffern. Eine Ziffer die vorangestellt wird, hat den Zwei-fachen Wert. Die Bitfolge 10 bedeutet also 2 (zwei hoch eins) mal 1 plus 0 mal 1 (zwei hoch null). Ein drittes Bit hat dann den Wert vier, ein viertes Bit den Wert acht (immer eine Verdoppelung).

2er-System 10er-System
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7

Stellenwerte:

Stelle (von rechts) Wert im 10er-System
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024

Zum Beispiel: Basis Sechzehn

Irgendwann in der Frühzeit der Computertechnik sind die Entwickler dazu übergegangen, die dummen Kisten in Gruppen von 8 Bit denken zu lassen. Diese Gruppen von 8 Bit bekamen den Namen "Byte". Mit acht Bit kann man zwei hoch acht (2*2*2*2*2*2*2*2 - zählen Sie mal die Zweier) = 256 mögliche Werte darstellen (von 0 bis 255). Also wäre es naheliegend, ein 256er System einzuführen. Aber 256 verschiedene Symbole auf Papier aufzuschreiben ist nicht einfach - woher nehmen (wenn nicht von chinesischen Schriftzeichen, davon gibt es über 40.000)? Die Zahl 256 wurde ja gerade deshalb gewählt, weil Gesamtzahl der Symbole (Ziffern, große und kleine Buchstaben, Sonderzeichen) keiner westlichen Sprache größer war.

Wenn man aber eine Gruppe von 8 Bit in der Mitte teilt, gibt es 2 Gruppen von 4 Bit. Mit 4 Bit kann man zwei hoch vier (2*2*2*2) = 16 mögliche Werte darstellen. Das ist schon handlicher beim Notieren auf Papier: die bekannten Ziffern von 0-9 und dann noch (wie fantasielos!) die Buchstaben a bis f (klein oder groß ist egal).

2er-System 16er-System 10er-System
0 0 0
1 1 1
10 2 2
11 3 3
100 4 4
101 5 5
110 6 6
111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 A 10
1011 B 11
1100 C 12
1101 D 13
1110 E 14
1111 F 15

Bei den alten (und modernen) Griechen ist "Hex" das Wort für die Zahl Sechs. In totaler Sprachvermischung hat dann jemand aus der griechischen Sechs (hex) und der lateinischen Zehn (decem) die Bezeichnung "Hexadezimal"-System eingeführt.

Stellenwerte:

Stelle (von rechts) Wert im 10er System
0 1
1 16
2 256
3 4096
4 65536
5 1048576
6 16777216

Alltagsbedeutung des Hexadezimalsystems heute

Mir persönlich begegnen Hexadezimalzahlen am häufigsten bei der farblichen Gestaltung von Webseiten. An jeder Ecke muss man angeben, welche Farbe eine Schrift oder ein Hintergrund haben soll. Diese Farben werden heutzutage als Kombinationen der 3 (am Computerbildschirm leuchtenden, sog. additive Mischung; im Gegensatz zu subtraktiven Mischung beim Drucken auf Papier) Grundfarben Rot, Grün und Blau angegeben. Für jede Farbe muss man sagen. wieviel sie leuchten soll. Weil Computer immer in diesen komischen Bytes denken, brauchen sie die Leuchtstärke der Grundfarben als Zahl von 0 bis 255 - oder angenehmer geschrieben als Hexadezimalzahl zwischen 00 und FF.

Wer mal Praxisbeispiele von Web-Farbangaben sehen und mit Farbkombinationen experimentieren möchte, kann sich z.B. bei wellstyled.com umsehen.

Umrechnen

Bei diesem Systemmischmasch braucht man eine Möglichkeit, Zahlen umrechnen zu können. Die hier beschriebenen Verfahren sind nicht die einzigen, aber meines Erachtens brauchbar um sie auf Papier mit Unterstützung durch Taschenrechner durchzuführen.

Hexadezimal nach Dezimal:

Die Umrechnung ist wie bei allen anderen Stellenwertsystemen: Multiplizieren Sie jede Ziffer mit Ihrem jeweiligen Stellenwert und addieren sie hinterher diese Werte.

Beispiel Hexadezimal AFFE

= E*1 plus F*16(10) plus F*256(10) plus A*4096(10) = 14*1 + 15*16 + 15*256 + 10*4096 = (Taschenrechner) 45054

Dezimal nach Hexadezimal:

Dividieren Sie die Zahl durch die Basis (hier: 16). Der Rest ergibt die letzte Ziffer der Hexadezimalzahl. Mit dem ganzzahligen Teil des Divisionsergebnisses wiederholen Sie dieses Verfahren.

Beispiel Dezimal 48879

48879 / 16 = 3054,9375, also ist der Rest 0,9375*16 = 15, also lautet die letzte Stelle der gesuchtes Hexadezimalzahl F

3054 / 16 = 190,875, also ist der Rest 0,875*16 = 14, also lautet die vorletzte Stelle der gesuchten Hexadezimalzahl E

190 / 16 = 11,875, also ist der Rest 0,875*16 = 14, also lautet die drittletzte Stelle der gesuchten Hexadezimalzahl E

11 braucht man nicht mehr zu dividieren, das ist direkt die Hexadezimalziffer B

Ergebnis also: 48879(10) = BEEF (16)

Alles klar?


Martin Stut, 26.04.2008